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田刚:数学内外的奥秘

  起初计数的符号取决于被计数的对象,羊与牛的符号是不一样的。 公元前3千纪初期,数字获得了新的生命形式。为了表示10头牛,人们可以不再画10个牛头,只需写个数字10,旁边画一个牛头。这一刻意味着,数字已经独立存在。数字从具体物品中、从现实中抽离出来,产生了数的概念。这是人类一个最伟大的发明。起初是自然数,如1,2,3,4,5,6,7,8,9,… 这些数字我们称为阿拉伯数字,实际上我们现在通用的这种数字书写法是印度人发明的,大约在700年左右,阿拉伯学者在被征服的地区发现当地数学比他们的先进,于是接纳了这套印度数字,阿拉伯世界随后见证了数学的巨大发展,而当时的欧洲人却对此视而不见,仍然使用较为费事的罗马数字。

  数学家斐波那契是在西方推行印度阿拉伯数字的先行者,一直到13世纪印度阿拉伯计数法才慢慢在西方推广开来,可见开放心态和慧眼识珠的重要性。之后由于实际应用和四则运算,就需要引进有理数,即两个整数的比。古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是有记载的第一个注重 “数” 的人,当时他发出感叹说:数是万物之本。数字的抽象化,是一个极其重要的具有划时代意义的节点。

  毕达哥拉斯画像

  数的概念产生之后,数学逐渐形成独立的学科。早期几何学是关于长度、角度、面积和体积的经验原理,用于满足在测绘、建筑、天文和工艺制作中的实际需要。几何的英文 geometry,由词根geo-(大地)加上metry(测量)组成,本意是 “测量大地”,最初的几何学就是如何测量土地面积的学问。可以说最初的土地测量员就是 “最接地气” 的 “数学家”。

  土地测量员等早期 “数学家” 要解决的主要问题包括:如何划分土地面积?如何按照面积计算土地的价格?两块地哪块更接近水源?水渠的修建应该遵守什么样的路线才能使距离最短?等等这些与生产生活紧密相关的问题。 据说治水的大禹是我国最早的测量员之一。

  战国时期水利家郑国,他主持勘察测量、设计的郑国渠是我国古代四大古渠之一。这其中还有一个有趣的故事,郑国其实是韩国的间谍,他前往秦国游说秦王修筑水利工程,以起到拖累秦国的目的。但没想到,水渠修筑之后,秦国国力因此变得更加强大。虽然郑国未能起到拖垮秦国的目的,但是作为一名卓越的水利专家,郑国治理水患,改变了关中农业区的面貌,值得称颂。这个故事也告诉我们:自强才是御敌之本。

  郑国与郑国渠图示

  下图中展示了新石器时代的陶罐,上面有很多几何纹饰,这些几何纹饰来源于生产生活,反映了当时社会生活的各个方面,包括图腾崇拜等,也有一种说法是这些陶罐反映了原始人的审美观念已经从实用中分离出来。马家窑文化因最早发现于甘肃省临洮县的马家窑村而得名,年代约为公元前4200年至前3300年,也就是距今五千七百多年的新石器时代晚期。半山文化是马家窑文化的晚期类型之一,因甘肃省广河县(一说是和政县)半山遗址而得名。

新石器时代的陶罐

来源:中国数学会 田刚
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