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田刚:数学内外的奥秘

  远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国,西周早期的商高提出了 “勾三股四弦五” 的勾股定理的特例。勾股定理等价于证明:在一直角三角形中,斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。

  赵爽是我国数学家,他是东汉末至三国时代吴国人。赵爽为《周髀算经》作注时,解释了《周髀算经》中勾股定理,并给出了证明:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实。” 2002年国际数学家大会会标的灵感就来源于此,这个标志现在也是中国数学会的标志。

赵爽弦图

  中国数学会的标志

  古希腊数学家泰阿泰德发现只存在5种正多面体,不存在第6种。这一结果的证明最早也是出现在欧几里得的《几何原本》中。柏拉图的宇宙观基本上是一种数学的宇宙观。他设想宇宙开头有两种直角三角形,一种是正方形的一半,另一种是等边三角形的一半。从这些三角形就合理地产生出四种正多面体,组成四种元素。火是正四面体,气是正八面体,水是正二十面体,土是立方体。第五种正多面体是由正五边形形成的十二面体,这是组成天上物质的第五种元素,叫做以太。5种正多面体被称为 “柏拉图立体”。可见被授予光环的也不一定是原本的发现者。

  5种正多面体

  仔细观察,城市中很多球形建筑上都有12个特殊的点,比如位于北京奥森公园附近的中国科技馆,这些球形建筑上的12个特殊点每个点由5个三角形组成,这是多面体几何性质约束的结果。大家有兴趣可以去现场找找这12个特殊点。其实,在两千多年前古希腊数学家已经发现了这一特点。

  中国科技馆

  大型球状建筑物,类似于将正二十面体每个三角形切分成4个三角形,然后将每一个新的三角形再同样切分,依次切分下去,得到若干小三角形侧面,将它们“吹鼓”起来变成类球体形状。之前提到的中国科技馆球状建筑就是这样,由成千上万块小三角形拼成,球体表面的12个特殊的点就是原本正二十面体的12个顶点。在生活中,我们还可以看到类似的物品,比如足球其实是截去顶点并稍加吹鼓起来的正二十面体。

  欧几里得《几何原本》中还有关于数论的结果:有无穷多个素数。素数是只能被1和自己整除的正整数, 如2,3,5,7,11,13…… 任何整数都可以分解成素数的乘积,所以素数被认为是数的 “原子”。数论是数学的核心分支之一,研究素数是一个重要部分,许多著名猜想都与素数有关,如被誉为 “皇冠上的明珠” 的哥德巴赫猜想:任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。至今最好的结果是1966年陈景润先生证明的。还有有关黎曼ζ函数的零点分布著名的黎曼猜想。素数理论被用于信息安全技术,有无穷多个素数是现代信息安全技术的基础。

  素数不仅有无穷多个,我们还能描述它的分布,素数定理就是其中一个描述。素数定理(Prime Number Theorem)叙述如下: 设x≥1,以π(x)表示不超过x的素数的个数,则当x趋于无穷时,π(x)~x/ln(x)。 1896年,阿达马和德·拉·瓦莱布桑(Charles-Jean de la Vallée Poussin)各自独立地证明了素数定理。1949年,塞尔伯格和埃尔德什(Paul Erdős)分别独立地给出了素数定理的完全“初等”的证明,这是塞尔伯格获得菲尔茨奖的一个重要工作。由素数定理,我们可以估计素数的个数,如果x是1亿,素数有300多万个。如果x是100亿,素数有3亿多个。

  我们还可求π(x)的渐进展开公式,第二个本质项的幂次大小与黎曼猜想紧密相关。 素数理论在好莱坞电影中也出现。获奥斯卡奖的好莱坞科幻电影《超时空接触》中就有素数理论的应用。女主人公利用素数的数学理论破译了来自外太空的密码,这些密码是生产时空机器的图纸和说明。时空机器制造出来后,女主人公成为人类首位与外星生命接触的使者,飞越宇宙,与外太空的生命进行理智的接触。

好莱坞科幻电影《超时空接触》海报

  好莱坞科幻电影《超时空接触》海报

来源:中国数学会 田刚
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